Descripción General del Curso
La asignatura proporciona una formación sólida en el cálculo infinitesimal de una variable y una introducción a las ecuaciones diferenciales, fundamentales para las ciencias e ingeniería. El contenido se divide en tres ejes fundamentales:
1. Análisis Diferencial y Aproximación
· Fundamentos de Límites: Estudio de la definición formal de Weierstrass para límites de una variable y el análisis de límites laterales.
· Aplicaciones de la Derivada: Análisis de valores extremos, teoremas de valor medio (Lagrange, Rolle y Cauchy) y su aplicación en desigualdades y trazado detallado de curvas (concavidad y asíntotas).
· Optimización y Aproximación: Resolución de problemas de optimización, aplicación de la regla de L'Hôpital y el uso del Polinomio de Taylor con su respectivo análisis de acotación del residuo.
2. Cálculo Integral y Geometría
· Teoría de la Integración: Construcción de la Integral de Riemann a través de sumas superiores e inferiores, y el estudio del primer y segundo Teorema Fundamental del Cálculo.
· Técnicas Avanzadas: Dominio de métodos como la sustitución universal de Weierstrass, integración por partes, fracciones simples, potencias trigonométricas e integrales irracionales.
· Aplicaciones del Cálculo: Cálculo de áreas entre curvas, volúmenes de sólidos de revolución (discos, arandelas y envolventes), longitud de arco y área de superficies de revolución, además del estudio de integrales impropias.
3. Sucesiones y Ecuaciones Diferenciales
· Sucesiones: Análisis de convergencia, límites de sucesiones y el uso del Teorema de Estricción.
· Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO): Introducción a las EDO de primer orden, cubriendo métodos para ecuaciones separables, lineales, de Bernoulli y Ricatti, con aplicaciones en modelos de crecimiento poblacional y leyes físicas.
Nombre de la Asignatura: MATEMÁTICA I
Código: 8206
Unidades de Crédito: 6
Horas Semanales: 8 (4 teóricas + 4 prácticas)
Requisito: No tiene
Objetivo General:
Introducir a los estudiantes en el estudio del cálculo diferencial en una variable, sentando las bases para el análisis matemático y sus aplicaciones.
Objetivos Específicos:
Al finalizar el curso, el estudiante estará en capacidad de:
- Manipular números, funciones básicas y sus gráficas con precisión.
- Comprender y aplicar conceptos de geometría analítica del plano.
- Resolver inecuaciones y calcular límites.
- Identificar puntos de discontinuidad y comprender el concepto de continuidad.
- Interpretar y calcular derivadas, comprendiendo su significado geométrico y físico.
- Aplicar reglas de derivación en funciones polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y sus composiciones.
- Trazar gráficos precisos de funciones utilizando límites y derivadas.
Contenidos Principales:
1. Los números reales y sus propiedades
2. Funciones básicas y sus gráficas
3. Geometría analítica plana
4. Inecuaciones y aproximaciones
5. Composición de funciones
6. Límites y continuidad
7. Derivadas y sus aplicaciones
8. Trazado de curvas y optimización
Metodología:
La asignatura combina:
- Clases expositivas por parte del docente.
- Estudio autónomo y responsable por parte del alumno.
- Resolución de problemas, talleres prácticos y lecturas dirigidas.
- Participación activa en discusiones y ejercicios de aplicación.
Bibliografía Recomendada:
- Alson, Pedro. Métodos de graficación.
- Edwards & Penney. Geometría Analítica y Cálculo.
- Leithold, L. Matemáticas previas al Cálculo.
- Swokowsky, E. W. Cálculo con Geometría Analítica.